问题
解答题
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R),且函数f(x)的图象关于原点对称,其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在区间[m,n],使得函数f(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析式?若存在,求出这样一个区间[m,n];若不存在,则说明理由。
答案
解:(1)的图象关于原点对称,
∴恒成立,
即,∴b=d=0,
又得图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0即
,
∴,且
,
而,∴
,
∴,解得:
,
故所求函数的解析式为。
(2)解。得x=0或
,
又,
令=0,得x=±1,
且当或
时,
;
当x∈(-1,1)时,<0,
∴在
和
上递增,在[-1,1]上递减,
∴在
上的极大值和极小值分别为
,
而,
故存在这样的区间[m,n],其中一个区间为。