问题
解答题
| 选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2； （Ⅱ）已知a，b，c都是正实数，求证：a3+b3+c3≥
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答案
证明：（Ⅰ）∵（x3+y3）-（x2y+xy2）=x2（x-y）+y2（y-x）=（x-y）（x2-y2）=（x-y）2（x+y），
又∵x，y∈R+，∴（x-y）2≥0，，x+y＞0，∴（x-y）2（x+y）≥0，
∴x3+y3≥x2y+xy2．…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c∈R+，由（Ⅰ）知：a3+b3≥a2b+ab2；b3+c3≥b2c+bc2；c3+a3≥c2a+ca2；
将上述三式相加得：2（a3+b3+c3）≥（a2b+ab2）+（b2c+bc2）+（c2a+ca2），3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+ca2)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+c2a) =a2(a+b+c)+b2(a+b+c)+c2(a+b+c) =(a+b+c)+(a2+b2+c2)
∴a3+b3+c3≥
(a2+b2+c2)(a+b+c)．…（10分）1 3
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