问题 解答题
二次函数y=-
1
2
x2+
3
2
x+m-2
的图象与x轴交于A、两点(点A在点B左边),与y轴交于C点,且∠ACB=90°.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)设计两种方案:作一条与y轴不重合,与△ABC两边相交的直线,使截得的三角形与△ABC相似,并且面积为△BOC面积的
1
4
,写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注:设计的方案不必证明).
答案

(1)设A(x1,0),B(X2,0),则x1x2=-2(m-2),OA=-X1,OB=x2

又C(0,m-2),则OC=m-2,

由△AOC△COB,得OC2=OA•OB=-x1x2

即(m-2)2=2(m-2),又m-2>0,

∴m=4,得y=-

1
2
x2-
3
2
x+2;

(2)方案一:分别取OB,BC的中点O1,C1,连接O1C1

可得△BO1C1三个顶点的坐标,B(4,0),O1(2,0),C1(2,1)

方案二:在AB上取AB2=AC=

5
,在AC上取AO2=AO=1,作直线O2B2

可得△B2O2A三个顶点的坐标,B2(

5
-1,0),O2(-1+
5
5
2
5
5
)
,A(-1,0).

单项选择题
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