问题
解答题
| 已知x，y，z∈R+，求证： （1）（x+y+z）3≥27xyz； （2）(
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz． |
答案
证明：（1）∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，当且仅当x=y=z时，取等号，∴（x+y+z）3≥27xyz； 3 xyz
（2）∵x，y，z∈R+，∴
+x y
+y z
≥3z x
=3，3
•x y
•y z z x
+y x
+z y
≥3x z
=3，当且仅当x=y=z时，取等号，3
•y x
•z y x z
∴两式相乘，可得(
+x y
+y z
)(z x
+y x
+z y
)≥9；x z
（3））∵x，y，z∈R+，∴x+y+z≥3
，x2+y2+z2≥33 xyz
，当且仅当x=y=z时，取等号，3 x2y2z2
∴两式相乘可得（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．