问题
解答题
已知函数f（x）=x+xlnx。
（1）求函数f（x）的图像在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4，证明（mnn）m＞（nmm）n。
答案
解：（1）因为
所以
函数
的图像在点
处的切线方程
；
（2）由（1）知
所以
对任意
恒成立
即
对任意
恒成立
令
则
令
，则
所以函数
在
上单调递增
因为
所以方程
在
上存在唯一实根
，且满足
当
即
当
即
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增
所以
所以
故整数k的最大值是3；
（3）由（2）知，
是
上的增函数
所以当
时，
即
整理得
因为
所以
即
即
所以
。