问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围。
答案
解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx+c，
依题意
，
又f′（0）=-3，
∴c=-3，
∴a=1，
∴f（x）=x3-3x；
（Ⅱ）设切点为
，
∵f′（x）=3x2-3，
∴
，
∴切线方程为
，
又切线过点A（2，m），
∴
，
∴
，
令g（x）=-2x3+6x2-6，
则g′（x）=-6x2+12x=-6x（x-2），
由g′（x）=0得x=0或x=2，
g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2，
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）。