问题
解答题
设函数f(x)=
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，记F(n)=
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n0，使得|f′(n0)|≤
|
答案
（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=-1，b=c=-3．…（4分）
（2）f′(n)=n2-n-3，F(n)=
=1 f′(n)+2
，1 n2-n-1
当n=1时，F(1)=-1＜
；当n=2时，F(1)+F(2)=-1+1=0＜11 18
；11 18
当n≥3时，F(n)=
＜1 n2-n-1
=1 n2-n-2
=1 (n+1)(n-2)
(1 3
-1 n-2
)．1 n+1
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+
[(1-1 3
)+(1 4
-1 2
)+(1 5
-1 3
)+…+(1 6
-1 n-2
)]=1 n+1
[1+1 3
+1 2
-1 3
-1 n-1
-1 n
]＜1 n+1 11 18
=
（1+1 3
+1 2
-1 3
-1 n-1
-1 n
）＜1 n+1
（1+1 3
+1 2
）=1 3
，11 18
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
(n∈N*）．…（9分）11 18
（3）根据题设，可令f'（x）=（x-α）（x-β）．
∴f'（1）•f'（2）=（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)≤[
]2[(α-1)+(2-α) 2
]2=(β-1)+(2-β) 2
，1 16
∴0＜|f′(1)|≤
，或0＜|f′(2)|≤1 4
，所以存在n0=1或2，使|f′(n0)|≤1 4
．…（13分）．1 4