问题
解答题
已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a，b∈R，a＜b)，
(Ⅰ)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2，证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4。
答案
解：(Ⅰ)当a=1，b=2时，因为f′(x)=（x-1）（3x-5），
故f′(2)=1，
又f(2)=0，
所以f(x)在点(2，0)处的切线方程为y=x-2．
(Ⅱ)证明：因为
，
由于a＜b，故
，
所以f（x）的两个极值点为
，
不妨设
，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，故x3=6，
又因为
，
，
此时
依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且
。