问题
解答题
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)，
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1∈(0，+∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。
答案
解：(1)由题意知
，f′(1)=2+1=3，
故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3；
(2)
，
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′(x)＞0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，+∞)；
②当a＜0时，由f′(x)=0，得
，在区间
上，f′(x)＞0，在区间
上，f′(x)＜0，
所以，函数f(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
(3)由题意知，转化为
(其中x1∈(0，+∞)，x2∈[0，1])，
由(2)知，当a≥0时，f′(x1)＞0，f(x1)在(0，+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f(x1)在
上单调递增，在
上单调递减，
故f(x1)的极大值即为最大值，
f（x1）max=
，
所以
，
解得
。