问题
解答题
过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S△APQ：|OA|的最小值．
答案
解：（1）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）
由题意可得，kAP=
=
，由导数的几何意义可得，kAP=2x1，
∴
=2x1，整理可得
，同理可得
﹣1=0，
从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，
∴x=a±
，k1=
，k2=
，
∴k1k2=
=﹣4，
即k1k2为定值﹣4．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），
则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）
∴y1=2x1a+2，
同理y2=2x2a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（3）
即A（a，0）点到PQ的距离，
要使
最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，
而A到直线PQ的距离d=
=
=
≥
，
当且仅当
，即a2=
时取等号，
∴
最小值为
．
动力