解：（1）函数y=x²+2x的导数y′=2x+2，

曲线C₁在点P（x₁，x²₁+2x₁）的切线方程是：y-（x₁²+2x₁）=（2x₁+2）（x-x₁），

即y=（2x₁+2）x-x₁² ①

函数y=-x²+a的导数y′=-2x，

曲线C₂在点Q（x₂，-x²₂+a）的切线方程是y-（-x₂²+a）=-2x₂（x-x₂）

即y=-2x₂x+x²₂+a  ②

如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，

所以x₁+1=-x₂，-x₁²=x₂²+a

消去x₂得方程2x₁²+2x₂+1+a=0

若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，

即a=-时，解得x₁=-，

此时点P与Q重合，

即当a=-时C₁和C₂有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x-。

（2）由（1）可知，当a＜-时C₁和C₂有两条公切线

设一条公切线上切点为：P（x₁，y₁）， Q（x₂ ，y₂）

其中P在C₁上，Q在C₂上，

则有x₁+x₂=-1，y₁+y₂=x₁²+2x₁+（-x²₂+a）=x²₁+2x₁-（x₁+1）²+a=-1+a，

线段PQ的中点为

同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是

所以公切线段PQ和P′Q′互相平分。