问题 选择题
已知a,b是正数,且满足2<a+2b<4.那么a2+b2的取值范围是(  )
A.(
4
5
16
5
B.(
4
5
,16)
C.(1,16)D.(
16
5
,4)
答案

以a为横坐标、b为纵坐标,在aob坐标系中作出不等式2<a+2b<4表示的平面区

域,

得到如图的四边形ABCD内部,(不包括边界)

其中A(2,0),B(0,1),C(0,2),D(4,0)

设P(a,b)为区域内一个动点,

则|OP|=

a2+b2
表示点P到原点O的距离

∴z=a2+b2=|OP|2

可得当P与D重合时,P到原点距离最远,

∴z=a2+b2<(

42+02
)2=16

可得当P点在直线BA上,且满足OP⊥AB时,

P到原点距离最近,等于

1×2
12+22
=
2
5
5

∴z=a2+b2>(

2
5
5
)2=
4
5

综上所述,可得a2+b2的取值范围是(

4
5
,16)

故选:B

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