已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．
（1）∵当a=1时，f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当f′（x）＜0，即x∈（-1，1）时，f（x）为减函数；当f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]，[1，+∞）上单调递增∴f（x）的极小值是f（1）=-2
（2）∵f′（x）=3x2-3a≥-3a，∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当-1＜-3a时成立，∴a＜
（3）因g（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-)，
（ⅰ）当≥1，即a≥1时，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜＜1，即0＜a＜1时，当f′（x）＞0，即x＞或x＜-时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即-＜x＜时，f（x）单调递减．所以f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]单调递增．
1°当f(1)=1-3a≤0，即≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，F(a)=-f()=2a；
2°当f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜
（ⅰ）当-f()≤f(1)=1-3a，即0＜a≤时，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）当-f()＞f(1)=1-3a，即＜a＜时，F(a)=-f()=2a
综上所述F(x)= | | 1-3a，(a≤) | | 2a，(＜a＜1) | | 3a-1，(a≥1) |
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