问题
解答题
已知函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得
（1）利用这个性质证明x0唯一； （2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由． |
答案
（1）证明：假设存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得
=f′(x0)f(b)-f(a) b-a
∴
=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)f(b)-f(a) b-a
∴f′（x）=
-1=-ex 1+ex
，记g（x）=f′（x）=-1 1+ex
，则g′（x）=1 1+ex
＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，ex (1+ex)2
∴所以x0′=x0 ，与x0′≠x0 矛盾，所以x0是唯一的．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）C（x3，y3）且x1＜x2＜x 3
∵f′(x)=
＜0，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）．-1 1+ex
∵
=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，BA
=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，BC
∴
•BA
=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，BC
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
•BA
＜0BC
∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．