（1）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x2

，（1分）

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；

当x＞1时，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在x=1处取得极大值．

因为函数f（x）在区间（a，a+

1

2

）（其中a＞0）上存在极值，

所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

解得

1

2

＜a＜1．

（2）不等式f(x)≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，

所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x)

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，

则h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，

从而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，

所以k≤2．