问题
解答题
已知函数f(x)=ax3-3x2+1-
（I）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由题设知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-
)．2 a
令f′(x)=0得x1=0，x2=
．2 a
当（i）a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f'（x）＞0，
所以f（x）在区间(-∞，
)上是增函数；2 a
若x∈(0，
)，则f'（x）＜0，2 a
所以f（x）在区间(0，
)上是减函数；2 a
若x∈(
，+∞)，则f'（x）＞0，2 a
所以f（x）在区间(
，+∞)上是增函数；2 a
（ii）当a＜0时，
若x∈(-∞，
)，则f'（x）＜0，2 a
所以f（x）在区间(-∞，
)上是减函数；2 a
若x∈(0，
)，则f'（x）＜0，2 a
所以f（x）在区间(0，
)上是减函数；2 a
若x∈(
，0)，则f'（x）＞0，2 a
所以f（x）在区间(
，0)上是增函数；2 a
若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，
且函数y=f（x）在x=0，x=
处分别是取得极值f(0)=1-2 a
，f(3 a
)=-2 a
-4 a2
+1．3 a
因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)•f(
)≤0．2 a
即(-
-4 a2
+1)(1-3 a
)≤0．3 a
所以
≤0．(a+1)(a-3)(a-4) a2
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．