问题
解答题
已知函数f（x）=x3+（1-a） x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．
答案
解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）
又
，f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3
解得b=0，a=-3或a=1
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于
导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．
∵f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-a+2 3
若a=-
即a=-a+2 3
时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，1 2
当两者不相等时即a≠-
时1 2
有a∈（-1，1）或者-
∈（-1，1）a+2 3
解得a∈（-5，1）且a≠-1 2
综上得参数a的取值范围是（-5，-
）∪（-1 2
，1）1 2
