已知函数f（x）=13ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差

问题解答题

已知函数f（x）=

ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c是以d为公差的等差数列，，且a＞0，d＞0．设x₀为f（x）的极小值点，在[1-

，0]上，f′（x）在x₁处取得最大值，在x₂处取得最小值，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，f′（x₁）），（x₂，f′（x₂，f（x₂））依次记为A，B，C．
（I）求x₀的值；
（II）若△ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a，d的值．

答案

（I）∵2b=a+c

∴f'（x）=ax²+2bx+x=ax²+（a+c）x+c=（x+1）（ax+c）

令f'（x）=0，得x=-1或x=-

∵a＞0，d＞0

∴0＜a＜b＜c

∴

＞1，-

＜-1

当-

＜x＜-1时，f‘（x）＜0，

当x＞-1时，时，f‘（x）＞0，

所以f（x）在x=-1处取得最小值即x₀=-1

（II）∵f'（x）=ax²+2bx+x（a＞0）

∴函数f'（x）的图象的开口向上，对称轴方程为x=-

由-

＞1知|（1-

）-（-

）|＜|0-（-

）|

∴f'（x）在[1-

，0]上的最大值为f'（0）=c，即x₁=0．

又由

＞1，知-

∈[1-

，0]

∴当x=-

时，

f‘（x）取得最小值为f‘（-

）=-

，即x₂=-

∵f（x₀）=f（-1）=-

∴A（-1，-

），B（0，c），C（-

，-

）

由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴，

所以-

，即a²=3d①

又由三角形ABC的面积为2+

得

（-1+

）•（c+

）=2+

利用b=a+d，c=a+2d，得

=2+

②

联立①②可得d=3，a=3

．