问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N*）． （1）求a的值； （2）若数列{an}满足
（3）对于（II）中的数列{an}，求证：a1+a2+a3+…+ak＜5（k=1，2，3…）． |
答案
（1）由已知，可得f'（x）=2ax+b，
∴b=2n 16n2a-4nb=0.
解之得a=
．1 2
（2）∵
=1 a n+1
+2n，1 a n
∴
-1 a n+1
=2n．1 a n
由
-1 a 2
=2×11 a 1
-1 a 3
=2×21 a 2
-1 a 4
=2×31 a3
-1 a n
=2(n-1)，1 a n-1
累加得
-1 a n
=n2-n（n=2，3）．1 4
∴an=
=1 n(n-1)+ 1 4
（n=2，3）．4 (2n-1)2
当n=1 时，
=4=a14 (2n-1)2
∴an=
（n=1，2，3）．4 (2n-1)2
（3）当k=1时，由已知a1=4＜5显然成立；
当k≥2时，ak=
＜1 k(k-1)+ 1 4
=1 k(k-1)
-1 k-1
（k≥2）1 k
则a1+a2+a3+…+ak＜4+[(1-
) +( 1 2
-1 2
)+… +(1 3
-1 k-1
)]=5-1 k
＜51 k
综上，a1+a2+a3+…+ak＜5（k=1，2，3）成立．