已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）

问题解答题

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），f′（x）是f（x）的导函数，且f′（0）=2n，（n∈N^*）．
（1）求a的值；
（2）若数列{a_n}满足

an+1

=f′(

)，且a₁=4，求数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（II）中的数列{a_n}，求证：a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3…）．

答案

（1）由已知，可得f'（x）=2ax+b，

∴

b=2n

16n2a-4nb=0.

解之得a=

．

（2）∵

n+1

+2n，

∴

n+1

=2n．

由

=2×1

=2×2

=2×3

n-1

=2(n-1)，

累加得

=n2-n（n=2，3）．

∴an=

n(n-1)+

(2n-1)2

（n=2，3）．

当n=1 时，

(2n-1)2

=4=a1

∴an=

(2n-1)2

（n=1，2，3）．

（3）当k=1时，由已知a₁=4＜5显然成立；

当k≥2时，ak=

k(k-1)+

＜

k(k-1)

k-1

（k≥2）

则a₁+a₂+a₃+…+a_k＜4+[(1-

) +(

)+… +(

k-1

)]=5-

＜5

综上，a₁+a₂+a₃+…+a_k＜5（k=1，2，3）成立．