（1）当m=1时，f(x)=-

1

6

x6+xk，f′(x)=-xk+kx，

故f'（1）=-1+k=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．（k分）

（k）f'（x）=-x^k+kx+m^k-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．

∵m＞0，所以1+m＞1-m，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数．

函数f（x）在x=1-m处取得极0值f（1-m），且f（1-m）=-

k

6

m6+mk-

1

6

，

函数f（x）在x=1+m处取得极图值f（1+m），且f（1+m）=

k

6

m6+mk-

1

6

．（6分）

（6）由题设，f(x)=x(-

1

6

xk+x+mk-1)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)，

∴方程-

1

6

xk+x+mk-1=0有两个相异的实根x₁，x_k，

故x1+xk=6，且△=1+

4

6

(mk-1)＞0，∵m＞0

解得m＞

1

k

，（8分）

∵x₁＜x_k，所以kx_k＞x₁+x_k=6，

故x_k＞

6

k

＞1．（10分）

①当x₁≤1＜x_k时，f（1）=-

1

6

（1-x₁）（1-x_k）≥0，而f（x₁）=0，不符合题意，

②当1＜x₁＜x_k时，对任意的x∈[x₁，x_k]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x_k≤0，

则f(x)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x_k]上的最0值为0，

于是对任意的x∈[x₁，x_k]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m^k-

1

6

＜0，

解得-

6

6

＜m＜

6

6

，

∵由上m＞

1

k

，

综上，m的取值范围是（

1

k

，

6

6

）．（14分）