问题
解答题
已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）要使f（x）在（0，2）上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＜0时，若函数满足y极大值=1，y极小值=-3，
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的图象上斜率最小的切线方程．
（Ⅲ）求a取值范围．
答案
（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax，要使f（x）在（0，2）上单调递增，
则f'（x）≥0在（0，2）上恒成立 …（2分）
∵f'（x）是开口向下的抛物线∴
∴a≥3…（5分）f′(0)≥0 f′(2)=-12+4a≥0
（Ⅱ）（1）令f′(x)=-3x2+2ax=0，得x1=0，x2=
a2 3
∵a＜0，∴y极大值=f（0）=b=1
∴y极小值=f(
a)=-2 3
a3+8 27
a3+1=-3，4 9
∴a=-3
∴f（x）=-x3-3x+1…（9分）
（2）∵当x=0，k=f′（x）=-3x2-3取得最大值-3，
∴函数y=f（x）的图象上斜率最大的切线方程为：y-1=-3（x-0），
即y=-3x+1．
（Ⅲ）∵0≤θ≤
，∴tanθ=-3x2+2ax∈[0，1]π 4
据题意 0≤-3x2+3ax≤1在（0，1]上恒成立 …（10分）
由 -3x2+2ax≥0，得a≥
x，a≥3 2 3 2
由-3x2+2ax≤1，得a≤
x+3 2 1 2x
又
x+3 2
≥1 2x
(当且仅当x=3
时取”=”)，∴a≤3 3
…（14分）3
综上，a的取值范围是
≤a≤3 2
…（15分）3