（I）由题意得，f′（x）=x-a+

a+1

x

，

∵在点（2，f（2））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，

∴在点（2，f（2））处的切线的斜率是

3

2

，即f′（2）=2-a+

a+1

2

=

3

2

，

解得a=2，

（II）由（I）知，f′（x）=x-a+

a+1

x

=

x2-ax+a+1

x

，且x＞0，

∵f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即x²-ax+a+1≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

设g（x）=x²-ax+a+1，对称轴x=

a

2

，

则

a 2 ≤0 g(0)≥0

或

a 2 ＞0 g( a 2 )≥0

，解得-1≤a≤0或0＜a＜2+2

2

，

故a的取值范围是-1≤a＜2+2

2

，

（III）“

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1”的几何意义是函数f（x）曲线上任意两点确定的割线斜率k＞1，

即在任一点处的切线斜率k＞1，

即证当-1＜a＜3时，对x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞1，

∴f′（x）=

x2-ax+a+1

x

＞1，且x＞0，即x²-（a+1）x+a+1＞0在（0，+∞）恒成立，

设h（x）=x²-（a+1）x+a+1＞0，且对称轴x=

a+1

2

，

由-1＜a＜3得，0＜

a+1

2

＜2，

则h(x)min=h(

a+1

2

)=(

a+1

2

)2-(a+1)

a+1

2

+a+1=

-(a-3)(a+1)

4

，

由-1＜a＜3得，

-(a-3)(a+1)

4

＞0，

故结论得证．