问题
解答题
| 已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R） （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值； （Ⅱ）设函数y=f（x） （x∈（0，1））的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件； （Ⅲ）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|＜
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答案
（Ⅰ）f'（x）=-3x2+2ax（1分）
由f'（2）=0得a=3，（2分）
又f（2）=0得b=-4（3分）
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x2+2ax x∈（0，1），
∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x2+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立（4分）
等价于3x-
≤2a≤1 x
+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．（5分）1 x
令g（x）=
+3x，h（x）=3x-1 x
，1 x
则
h（x）max≤a≤1 2
g（x）min，x∈（0，1）（6分）1 2
+3x≥21 x
，当且仅当x=3
时“=”成立，∴g（x）min=23 3
（7分）3
h（x）=3x-
在（0，1）上为增函数∴h（x）max＜2（8分）1 x
∴1≤a≤
（9分）3
（Ⅲ）设x1，x2∈R则k=
=-[x12+x1x2+x22-a（x1+x2）]＜1（10分）f(x2)-f(x1) x2-x1
即x12+（x2-a）x1+x22-ax2+1＞0，对x1∈R恒成立（11分）
∴△=（x2-a）2-4（x22-ax2+1）＜0，对x2∈R恒成立
即3x22-2ax2+4（4-a2）＞0对x2∈R恒成立（13分）
∴4a2-12（4-a2）＜0
解得a2＜3⇒|a|＜
（14分）3