问题 解答题

已知数列{an}中,前n项和为Sn,点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2,其中n=1,2,3…,

(Ⅰ)设bn=an+1-2an,且a1=1,求证数列{bn}是等比数列;

(Ⅱ)令f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较f′(1)与6n2-3n的大小.

答案

(I)由已知点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2上.

∴Sn+1=4(an+1)-2.

即Sn+1=4an+2.(n=1,2,3,)

∴Sn+2=4an+1+2.

两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an

即an+2=4an+1-4an.(3分)

an+2-2an+1=2(an+1-2an).

∵bn=an+1-2an,(n=1,2,3,)

∴bn+1=2bn

由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.

解得a2=5,b1=a2-2a1=3.

∴数列{bn}是首项为3,公式为2的等比数列.(6分)

(II)由(I)知bn=3•2n-1

∵f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn

∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1

从而f′(1)=b1+2b2+…+nbn

=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1

=3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1)(8分)

设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1

2Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n

两式相减,得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n

=

1-2n
1-2
-n•2n

∴Tn=(n-1)•2n+1.

∴f′(1)=3(n-1)•2n+3.(11分)

由于f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]

=3(n-1)[2n-(2n+1)].

设g(n)=f′(1)-(6n2-3n).

当n=1时,g(1)=0,∴f′(1)=6n2-3n;

当n=2时,g(2)=-3<0,∴f′(1)<6n2-3n;

当n≥3时,n-1>0,又2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2>2n+1,

∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0,即g(n)>0,从而f′(1)>6n2-3n.(14分)

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