问题
解答题
| 已知函数f（x）=ax3+bx2-x+c（a，b，c∈R且a≠0）， （1）若b=1且f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围； （2）若存在实数x1，x2（x1≠x2）满足f（x1）=f（x2），是否存在实数a，b，c使f（x）在
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答案
（1）当b=1时f'（x）=3ax2+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f'（x）在（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0．
①a＞0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线．
显然f'（x）在（2，+∞）上存在区间，使f'（x）＞0即a＞0适合．
②a＜0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向下的抛物线．
要使f'（x）在（2，+∞）上存在区间有f'（x）＞0，则f'（x）=3ax2+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解．
即f'（2）＞0或
⇒a＞-△＞0 f′(2)≤0 -
＞21 3a
或无解，1 4
又a＜0∴a∈(-
，0)1 4
综合得a∈(-
，0)∪(0，+∞)1 4
（2）不存在实数a，b，c满足条件．
事实上，由f（x1）=f（x2）得：a（x13-x23）+b（x12-x22）-（x1-x2）=0
∵x1≠x2∴a（x12+x1x2+x22）+b（x1+x2）-1=0
又f'（x）=3ax2+2bx-1
∴f′(
)=3a(x1+x2 2
)2+2b•x1+x2 2
-1x1+x2 2
=3a•
+1-a(
+x 21
+2x1x2x 22 4
+x1x2+x 21
)-1=-x 22
(x1-x2)2a 4
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′(
)≠0x1+x2 2
故不存在实数a，b，c满足条件．