问题 解答题

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中abc满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求证:两函数的图象交于不同的两点AB

(2)求线段ABx轴上的射影A1B1的长的取值范围.

答案

(1)证明略 (2) |A1B1|∈()

消去yax2+2bx+c=0

Δ=4b2-4ac=4(-ac)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c2

a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.

(2)解:设方程ax2+bx+c=0的两根为x1x2,则x1+x2=-,x1x2=.

|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

 

a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

a>-ac>c,解得∈(-2,-)

的对称轴方程是.

∈(-2,-)时,为减函数

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().

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