证明：①∵当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1，

令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②当a＞0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函数，

∴g（-1）≤g（x）≤g（1），

又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，

∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2，

g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2，

由此得|g（x）|≤2；

同理 当a＜0时，g（x）=ax+b在[-1，1]上是减函数，

∴g（-1）≥g（x）≥g（1），

又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，

∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2，

g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2，

由此得|g（x）|≤2；

当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c．

∵-1≤x≤1，

∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．

综上得|g（x）|≤2．