问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
（Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论． |
答案
（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
由题意得
，f(1)=a+c=- 2 5 f′(1)=3a+c=0
解得 a=
，c=-1 5 3 5
所以f（x）=
x 3-1 5
x．3 5
（II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-4
所以不存在．