已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的

问题解答题

已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

答案

（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；

所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c

由题意得

f(1)=a+c=-

f′(1)=3a+c=0

，

解得 a=

，c=-

所以f（x）=

x 3-

x．

（II）不存在．

证明：假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）•f'（x₂）=-1

所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4

因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]

因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4

所以不存在．