问题
解答题
已知定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d,∈R)的图象关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值-
(Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图象上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论. |
答案
(I)因为图象关于原点对称,所以f(x)为奇函数,所以b=0,d=0;
所以f(x)=ax3+cx,因此f'(x)=3ax2+c
由题意得
,f(1)=a+c=- 2 5 f′(1)=3a+c=0
解得 a=
,c=-1 5 3 5
所以f(x)=
x 3-1 5
x.3 5
(II)不存在.
证明:假设存在x1,x2,则f'(x1)•f'(x2)=-1
所以(x12-1)(x22-1)=-4
因为x1,x2∈[-1,1]所以x12-1,x22-1∈[-1,0]
因此(x12-1)(x22-1)≠-4
所以不存在.