在平面xoy中，不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，不等式组x-y≥0x+y

问题解答题

在平面xoy中，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组

x-y≥0

x+y≥0

确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U中任取3个“整点”，求这些“整点”恰好有两个“整点”落在区域V中的概率；
（Ⅱ）在区域U中每次任取一个点，若所取的点落在区域V中，称试验成功，否则称试验失败．现进行取点试验，到成功了4次为止，求在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

答案

（Ⅰ）平面区域U中的整点为：（2，0），（-1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（0，0），

（-1，0），（-2，0），（0，-2），（-1，-1），（0，-1），（1，-1）共13个；

平面区域V中的整点为：（0，0），（1，0），（2，0），（1，1），（1-1）共5个．

记“在区域U中任取3个“整点”，这些“整点”恰好有两个“整点”落在区域V中”为事件A．

则P(A)=

313

143

．

（Ⅱ）平面区域为V的面积为SV=

×22=π，平面区域为U的面积为SU=π×22=4π．

所以在区域U中每次任取一点，落在区域V中的概率为

4π

．

由题意得，记“到成功了4次为止，在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败”为事件A，

则P(A)=

(

)3(1-

)3×

4096

．