问题
解答题
(本小题满分13分)
设定义在R上的函数f(x)＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4(a0，a1，a2，a3，a4∈R)当x＝－1时，f(x)取得极大值，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；
(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－，]上；
(Ⅲ)设xn＝，ym＝(m，n∈N)，求证：|f(xn)－f(ym)|<.
答案
解：(Ⅰ)将函数y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位，得到函数y＝f(x)的图象，
∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝a1x3＋a3x.
∴f′(x)＝3a1x2＋a3.
由题意得：.
所以，f(x)＝x3－x.经检验满足题意. (4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，f′(x)＝x2－1.
故设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，(x1，x2∈[－，])
得f′(x1)·f′(x2)＝(x－1)(x－1)＝－1.
∵x－1，x－1∈[－1,1]，
∴或
∴或
∴满足条件的两点的坐标为：(0,0)，或(0,0)，. (8分)
(Ⅲ)∵xn＝＝1－，(n∈N)
∴xn∈
当x∈时，导函数f′(x)<0，即函数f(x)在上递减，
得f(xn)∈，
即f(xn)∈.
易知ym∈，用导数可求f(ym)在(－，－1)上递增；在(－1，－)上递减，
∵f(－)＝·(－)3＋＝，
f(－)＝·(－)3＋＝，
∴f(－)<f(－)，
∴f(ym)∈(f(－)，f(－1)]，
即f(ym)∈.
∴|f(xn)－f(ym)|＝f(ym)－f(xn)<－(－)＝.