由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，

∵A到直线l：y=x+m的距离小于2的概率为

1

4

，

∴与直线l：y=x+m平行的直线方程为y=x+2

2

或y=x-2

2

，且直线与圆相离，

∵y=x+m与y=x+2

2

或y=x-2

2

的距离为2，

∴

|m+2 2 |

2

=2，

∴m=±4

2

．

故答案为：±4

2

．