设曲线y＝x2＋x＋1－ln x在x＝1处的切线为l，数列{an}中，a1＝1，

问题解答题

设曲线y＝x²＋x＋1－ln x在x＝1处的切线为l，数列{a_n}中，a₁＝1，且点(a_n，a_n_＋₁)在切线l上．

(1)求证：数列{1＋a_n}是等比数列，并求a_n；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

答案

(1)由y＝x²＋x＋1－ln x，知x＝1时，y＝3.

又y′|_x_＝₁＝2x＋1－|_x_＝₁＝2，

∴切线l的方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.

∵点(a_n，a_n_＋₁)在切线l上，

∴a_n_＋₁＝2a_n＋1,1＋a_n_＋₁＝2(1＋a_n)．

又a₁＝1，∴数列{1＋a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴1＋a_n＝2·2ⁿ^－¹，即a_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)．

(2)S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝(2¹－1)＋(2²－1)＋…＋(2ⁿ－1)

＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n＝2ⁿ^＋1－2－n.