答案：D

题目分析：先求导函数，然后设切点为（a，b），根据在P点处的切线平行于直线y=4x-1建立等式，解之即可求出a，得到切点坐标，从而求出所求解：曲线y=x³+x-2求导可得 y′=3x²+1,设切点为（a，b）则 3a²+1=4，解得 a=1或a=-1,切点为（1，0）或（-1，-4）,与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x³+x-2相切的直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0,故答案为D

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线平行的应用，属于中档题．