问题
解答题
设函数 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe1－x．
（Ⅰ）若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线，求实数 a的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，对任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x0∈[e－4,e]，使得 f (x0)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
注：e是自然对数的底数．
答案
解：（1）
，
，所以
的图象在
处的切线方程是
；2分
设与
的图象切于点
，而
，
且
，解得
； 5分
（2），
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
； 8分
若令
，则原命题等价于对于任意
，都有唯一的
，使得
成立． 9分
而，
，
①当
时，
恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有
，且
，无解，所以此时不存在满足条件的
；10分
②当
，恒成立，所以在上单调递减，要满足条件，则必须有，且，解得
，
；11分
③当
时，在区间
上单调递减，在
上单调递增，
又
，要满足条件，则
，解得
，
； 12分
④当
时，
恒成立，所以在上单调递增，
又
，所以此时不存在满足条件； 13分
综上有
． 15分