（1）如图所示，设圆P被y轴所截的弦为EF，与x轴相较于C，D两点，

过点P作PM⊥EF，垂足为M，连接PE，由垂径定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r²=1+a²．①

∵被x轴分成两段弧，且弧长之比等于

1

3

，设

CD

为劣弧，∴∠CPD=90°，

过点P作PN⊥x轴，垂足无N，连接PD，PC，则Rt△PND为等腰直角三角形，∴r²=2b²．②

联立①②消去r可得：2b²=1+a²，即为a，b所满足的关系式．

（2）点P到直线x-2y=0的距离|PA|=

|a-2b|

5

=d，

∵PA⊥OA，∴|OA|=

r2-|PA|2

=

r2-d2

，

∴S_△OAP=

1

2

|OA||PA|=

1

2

d

r2-d2

，

∴事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率P=

S△OAP

S圆P

=

1 2 d r2-d2

πr2

≤

1

2π

×

d2+(r2-d2)

2r2

=

1

4π

，当且仅当d²=r²-d²，即

r2=1+a2 r2=2b2 r2=2( |a-2b| 5 )2

，解得

a2= 9-4 5 4 5 -7 b2= 1 4 5 -7

∴P的最大值为

1

4π

．