参考答案：题设的积分等式可改写成
[*]
在(*)式中令x=0得f(0)=0，由f(x)连续知[*]可导，从而(*)式右端各项均可导，由此f(x)必可导，将(*)式两端求导可得
[*]
在(**)式中令x=0得f’(0)=4，同样由(**)式右端各项均可导知f(x)二阶可导，且
f"(x)=-8sin2x-4f(x)
于是函数y=f(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题
[*]
的特解
微分方程y"+4y=0对应的特征方程是λ²+4=0，其特征根为λ₁=2i，λ₂=-2i，根据方程右端项的形式知非齐次微分方程的特解具有形式
y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
其中A，B是待定常数，由于
(y*)"=-4x(Acos2x+Bsin2x)+4(Bcos2x-Asin2x)，
为使y*是非齐次线性微分方程的特解，待定系数A，B应满足恒等式
4(Bcos2x-Asin2x)=-8sin2x，
由此可确定常数A=2，B=0，故所求非齐次微分方程的通解为
y=c₁cos2x+c₂sin2x+2xcos2x
由初值y(0)=0可确定常数c₁=0，由于
y’=2c₂cos2x+2cos2x-4xsin2x，
由初值y’(0)=4可确定常数c₂=1，
故所求函数f(x)=sin2x+2xcos2x。