问题 解答题

已知函数f(x)=x2-(1+2a)xaln x(a为常数).

(1)当a=-1时,求曲线yf(x)在x=1处切线的方程;

(2)当a>0时,讨论函数yf(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.

答案

(1)y=2x.(2)①当0<a时,f(x)的单调增区间是(0,a)和,单调减区间是,②当a时,f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.③当a<1时,f(x)的单调增区间是和(a,1),单调减区间是,④当a≥1时,f(x)的单调增区间是,单调减区间是

(1)当a=-1时,f(x)=x2x-ln x,则f′(x)=2x+1-,(2分)

所以f(1)=2,且f′(1)=2.

所以曲线yf(x)在x=1处的切线的方程为:y-2=2(x-1),

即:y=2x.(6分)

(2)由题意得f′(x)=2x-(1+2a)+ (x>0),

f′(x)=0,得x1x2a,(8分)

①当0<a时,由f′(x)>0,又知x>0得0<xax<1

f′(x)<0,又知x>0,得ax

所以函数f(x)的单调增区间是(0,a)和,单调减区间是,(10分)

②当a时,f′(x)=≥0,且仅当x时,f′(x)=0,

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数.(11分)

③当a<1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<xax<1,

f′(x)<0,又知x>0,得xa

所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1),单调减区间是,(13分)

④当a≥1时,由f′(x)>0,又知x>0得0<x

f′(x)<0,又知x>0,得x<1,

所以函数f(x)的单调增区间是,单调减区间是.(16分)

单项选择题
单项选择题 A3/A4型题