问题
解答题
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年进行一系列的促销活动。经市场调查和测算,化妆品的年销售量x万件与年消费量用t万元之间满足:3-x与t+1成反比例。如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件。又2010年生产化妆品的固定投资为3万元,每生产1万件化妆品需要投资32万元。当将化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和,则当年的产销量相等。
(1)试用促销费用t表示年销售量x;
(2)将2010年的利润y万元表示为促销费用t万元的函数;
(3)该企业2010年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
答案
解:(1)由题意,得,
且当时,
,所以k=2,
即。
(2)当年销量x万件时,成本为3+32x(万元),
化妆品的售价为(万元/万件),
所以年利润(万元),
把代入整理,
得,其中
。
(3)将去分母,
整理得到,
该关于t的方程在上有解,
当即
时,必有一解;
当时,该关于t的方程必须有两正根,
所以,
解得:,
综上,年利润最大为42万元,此时促销费t=7(万元)。