问题
解答题
已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax2+3是奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的极值．
答案
（1）f′（x）=-3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
∴f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1，
又函数g（x）=-x3+bx+c+3是奇函数，
∴c=-3．∴a=-2，b=4，c=-3，
∴f（x）=-x3-2x2+4x-3．
（2）f′（x）=-3x2-4x+4=-（3x-2）（x+2），令f（x）=0，得x=
或x=-2，2 3
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈(-2，
)时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增；2 3
当x∈(
，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；2 3
所以f（x）极小=f（-2）=-11，f（x）极大=f(
)=-2 3
．．41 27