问题
解答题
已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（1）求实数a、b、c的值；
（2）设函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在[-2，m]上的最小值．
答案
（1）∵f（x），g（x）的图象过P（2，0），∴f（2）=0
即2×23+a×2=0，a=-8．…（2分）
∴f（x）=2x3-8x
f′（x）=6x2-8，g′（x）=2bx…（4分）
f′（2）=6×4-8=16
又g′（2）=4b
16=4b∴b=4
∴g（x）=4x2+c
把（2，0）代入得：0=16+c，∴c=-16
∴g（x）=4x2-16，
综上a=-8，b=4，c=-16…（6分）
（2）F（x）=2x3+4x2-8x-16，F′（x）=6x2+8x-8，
解不等式
得x≤-2或x≥F′(x)=6x2+8x-8≥0．
．2 3
即函数的调增区间为：（-∞，-2]，[
，+∞）2 3
同理，由F′（x）≤0，得-2≤x≤
，即函数的减区间为：[-2，2 3
]．…（8分）2 3
因此，当-2＜m≤
时，F(x)min=F(m)=2m3+4m2-8m-16；…（10分）2 3
当m＞
时，F(x)min=F(2 3
)=-2 3
．…（12分）512 27