问题
解答题
| 已知函数f（x）=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）=f（x）+
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答案
（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x3-2x2+x-2．
（2）g（x）=x3-2x2+x-2+
mx，1 3
g′（x）=3x2-4x+1+
，令g′（x）=0．m 3
当函数有极值时，△≥0，方程3x2-4x+1+
=0有实根，m 3
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=
，在x=2 3
左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．2 3
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=
（2-1 3
），x2=1-m
（2+1 3
），1-m
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：
故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；
当x=
（2-1 3
）时g（x）有极大值；1-m
当x=
（2+1 3
）时g（x）有极小值．1-m