已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为(-1，13)，且

问题解答题

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为( -1，

)，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，3an+1=1-

f′(an)

（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设bn=

，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-

)（a＞0），

即f(x)=ax2+

-2

令α=

，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，

得f（1）=0，即a+

-2=0，得a=

．

∴f(x)=

x2+x-

．-（4分）

（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-

f′(an)

=1-

3an+1

3an

3an+1

即an+1=

3an+1

，两边取倒数，得

an+1

=3+

，即b_n+1=3+b_n．

∴数列b_n是首项为b1=

=1，公差为3的等差数列．

∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）

（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ

∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．

（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n

(b2+bn)

(4+3n-2)=

3n2+2n

（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=

3 (n-1)2+2 (n-1)

n (1+3n-2)

-3n2-2n+1

综上，Tn=

-3n2-2n+1

( n为奇数 )

3n2+2n

( n为偶数 ).

（13分）