（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)（a＞0），

即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2

令α=

π

2

，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，

得f（1）=0，即a+

2a

3

-

a

3

-2=0，得a=

3

2

．

∴f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

．-（4分）

（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，两边取倒数，得

1

an+1

=3+

1

an

，即b_n+1=3+b_n．

∴数列b_n是首项为b1=

1

a1

=1，公差为3的等差数列．

∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）

（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ

∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．

（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n

=

n 2 (b2+bn)

2

=

n

4

(4+3n-2)=

3n2+2n

4

（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=

3 (n-1)2+2 (n-1)

4

-

n (1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

综上，Tn=

-3n2-2n+1 4   ( n为奇数 ) 3n2+2n 4   ( n为偶数 ).

（13分）