问题
解答题
设f（x）=
（1）如果g（x）=f′（x）-2x-3在x=-2处取得最小值-5，求f（x）的解析式； （2）如果m+n＜10（m，n∈N+），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b-a） |
答案
（1）由题意得g（x）=f′（x）-2x-3=x2+2mx+n-2x-3=（x+m-1）2+（n-3）-（m-1）2，
又g（x） 在x=-2处取得最小值-5，
所以
+(n-3)-(m-1)2=-5，解得m=3，n=2．m-1=2 (m-3)2
所以f（x）=
x3+3x2+2x． 1 3
（2）因为f′（x）=x2+2mx+n且f（x）的单调递减区间的长度是正整数，
所以方程f′（x）=0，即x2+2mx+n=0必有两不等实根，
则△=4m2-4n＞0，即m2＞n．
不妨设方程f′（x）=0的两根分别为x1、x2，则|x1-x2|=
=2(x1+x2) 2-4x1x2
且为正整数．m2-n
又因为m+n＜10（m，n∈N+），所以m≥2时才能有满足条件的m、n．
当m=2时，只有n=3符合要求；
当m=3时，只有n=5符合要求；
当m≥4时，没有符合要求的n．
故只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求．