问题 解答题

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,满足不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),且方程f(x)+6a=0有两个相等实根,求f(x)的解析式.

答案

∵f(x)与f(x)+2x的二次项系数相等,

∴f(x)+2x的二次项系数为a.

又∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),

∴f(x)=a(x2-4x+3)-2x=ax2-(4a+2)x+3a.

∵方程f(x)+6a=0有两个相等实根

∴ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等实根.

∴[-(4a+2)]2-36a2=0,解得a=1(舍去),a=-

1
5

f(x)=-

1
5
x2-
6
5
x-
3
5

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