问题
解答题
已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
答案
（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故-
=-1m 2
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x2+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则x0=-x，y0=-y，因为点Q（x0，y0）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x2-2x，
∴y=-x2+x，
∴g（x）=-x2+2x．
（2）F（x）=-x2+2x-λ（x2+2x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤
=1-x 1+x
-1在（{-1，1}]上恒成立，2 1+x
由
-1在（-1，1]上为减函数，2 1+x
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]，