（1）∵f（x）的图象关于原点对称，

∴f（-x）+f（x）=0恒成立，

即2bx²+2d=0，∴b=d=0

又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，

即y-6=8（x-3），…（2分）

∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax³+cx，

∴f'（x）=3ax²+c…（3分）

∴

f′(3)=27a+c=8 f(3)=27a+3c=6

解得

a= 1 3 c=-1

．

故所求的解析式为f(x)=

1

3

x3-x．…（6分）

（2）解

y= 1 3 x3-x y=x

得x=0或x=±

6

又f'（x）=x²-1，由f'（x）=0得x=±1，

且当x=[-

6

，-1)或x=(1，

6

]时，f'（x）＞0；…（8分）

当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．

∴f(x)在[-

6

，-1]和[1，

6

]递增；在[-1，1]上递减…（9分）

∴f(x)在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f(-1)=

2

3

f(1)=-

2

3

．

而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

．

故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为[-

6

，

6

]．…（12分）