问题
解答题
| 定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x1，x1处取得极值且|x1-x2|=4． 求：（1）函数f（x）的表达式； （2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤
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答案
（1）f′（x）=3ax2+c=0
由②知c=-12a
∵函数f（x）图象过点（3，-6）；
∴27a+3c=-6
∴a=
，c=-8，2 3
故f(x)=
x3-8x；2 3
（2）若α，β∈R，2cosα，2sinβ∈[-2，2]，
而y′=2x2-8≤0在[-2，2]恒成立，故y=f（x）在[-2，2上是减函数
∴ymin=f(2)=-
，ymax=32 3 32 3
∴∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤|
-(-32 3
)|=32 3 64 3