（1）∵x＞0，f′（x）=2x，g′（x）=

2e

x

，

∴f′（x）+g′（x）=2（x+

e

x

）≥2×2

e

=4

e

，

当且仅当x=

e

x

，即x=

e

时，等号成立．

∴f′（x）+g′（x）≥4

e

；（4分）

（2）F′（x）=f′（x）-g′（x）

=2（x-

e

x

）=

2(x2-e)

x

（x＞0），

令F′（x）=0，得x=

e

（x=-

e

舍），

∴当0＜x＜

e

时，F′（x）＜0，F（x）

在（0，

e

）上单调递减；

当x＞

e

时，F′（x）＞0，F（x）

在（

e

+∞）上单调递增．（8分）

∴当x=

e

时，F（x）有极小值，也是最小值，

即F（x）_min=F（

e

）=e-2eln

e

=0．

∴F（x）的单调递增区间为（

e

，+∞），

单调递减区间为（0，

e

），

最小值为0；（10分）

（3）由（2）知，f（x）与g（x）

的图象有且仅有一个公共点（

e

，e），

∴猜想：一次函数的图象就是f（x）与g（x）

的图象在点（

e

，e）处的公切线，

其方程为y=2

e

x-e．（12分）

下面证明：当x＞0时，f（x）≥2

e

x-e，

且g（x）≤2

e

x-e恒成立．

又∵f（x）-（2

e

x-e）=（x-

e

）²≥0，

∴f（x）≥2

e

x-e对x＞0恒成立．

又令G（x）=2

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2elnx，

∴G′（x）=2

e

-

2e

x

=

2 e (x- e )

x

，∴当0＜x＜

e

时，

G′（x）＜0，G（x）在（0，

e

）上单调递减；

当x＞

e

时，G′（x）＞0，

G（x）在（

e

，+∞）上单调递增．

∴当x=

e

时，G（x）有极小值，也是最小值，

即G（x）_min=G（

e

）=2e-e-2eln

e

=0，

∴G（x）≥0，即g（x）≤2

e

x-e恒成立．

故存在一次函数y=2

e

x-e，使得当x＞0时，

f（x）≥2

e

x-e，且g（x）≤2

e

x-e恒成立．