（1）f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．

由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即

g（t）=4t3-3t+3．

（2）我们有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．

列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g'（t）	+	0	-	0	+
G（t）	↗	极大值g（- 1 2 ）	↘	极小值g（ 1 2 ）	↗

由此可见，g（t）在区间（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）单调增加，在区间（-

1

2

，

1

2

）单调减小，极小值为g（

1

2

）=2，

又g（-1）=-4-（-3）+3=2

故g（t）在[-1，1]上的最小值为2

注意到：对任意的实数a，

4a

1+a2

=

4

a+ 1 a

∈[-2，2]

当且仅当a=1时，

4a

1+a2

=2，对应的t=-1或

1

2

，

故当t=-1或

1

2

时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥

4a

1+a2

成立．

而当t∈（-1，1]且t≠

1

2

时，这样的a不存在．