问题
解答题
已知定义在R+上的函数f（x）有2f(x)+f(
（1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g(x)=
①求an，并证明
②求证：当n≥2时，Sn2＞2(
|
答案
（1）2f(x)+f(
)=2x+1 x
+31 x
故2f(
)+f(x)=1 x
+x+3，2 x
两式联立可得f（x）=x+1．
（2）由（1）可得g(x)=
=(x+1)2-2x
，x2+1
联立
，y= x2+1 y=
n-x2
得交点An(
，2n2-1 2
n2
)，由此得Bn(2n2+1 2
n2
，2n2+1 2
n2
)，2n2-1 2
n2
所以an=|AnBn|=
=(
-2n2-1 2
n2
)2+(2n2+1 2
n2
-2n2+1 2
n2
)22n2-1 2
n2
，1 n
∵Sn-
=Sn-11 n
∴
=S 2n-1
-S 2n
+2Sn n
，1 n2
∴当n≥2时，
-S 2n
=S 2n-1
-2Sn n
，1 n2
-S 2n-1
=S 2n-2
-2Sn-1 n-1
，…1 (n-1)2
-S 22
=S 21
-2S2 n
，1 22
累加得：
=2(S 2n
+S2 2
+…+S3 3
)+1-(Sn n
+1 22
+…+1 32
)1 n2
又∵1-(
+1 22
+…+1 32
)＞1-[1 n2
+1 1×2
+…+1 2×3
]1 n(n-1)
=1-(1-
+1 2
-1 2
+…+1 3
-1 n-1
)=1 n
＞01 n
∴Sn2＞2(
+S2 2
+…+S3 3
)Sn n